Man muss die Begriffe hier richtig verwenden, sonst artet das Ganze in ein Chaos aus:
Urheber
ist derjenige, der ein Werk (z.B. einen Forenbeitrag) aufgrund eigener geistiger Leistung erstellt hat.
Das Urheberrecht
ist eine Sammlung von Gesetzen, die regelt, inwiefern der Urheber auf die Verwertung von und den Umgang mit seinem Werk Einfluss nehmen kann.
Nutzungsrecht
kann jemand an einem Werk erhalten. Das Nutzungsrecht wird in der Regel vom Urheber auf einen Vertragspartner übertragen. Dabei kann der Urheber bestimmen, welchen Umfang die Nutzung umfasst und für welche Gegenleistung die Überlassung des Nutzungsrechts erfolgt.
Es ist dem Urheber freigestellt auf eine Bezahlung und auf eine Einschränkung der Nutzung seines Werkes zu verzichten. Dies ist der Regelfall in Internet-Foren.
Wenn also jemand einen Beitrag in einem Internetforum veröffentlicht, hat er in der Regel bereits zum Zeitpunkt des Beitritts zum Forum zugestimmt, dass alle seine Beiträge vom Forenbetreiber unentgeltlich und zeitlich unbegrenzt genutzt werden dürfen.
Davon völlig getrennt zu betrachten ist die Frage der Verantwortung für Veröffentlichungen in Internetforen. Der Betreiber einer Internetseite ist für die dort zugänglich gemachten Inhalte verantwortlich, auch wenn er sie nicht selbst erstellt hat. Das heißt, er hat in der Regel "unverzüglich" (Vorsicht! Klar definierter Rechtsbegriff!) für die Löschung illegaler Inhalte zu sorgen.
Unverzüglich
bedeutet in der deutschen Rechtsprechung "ohne schuldhaften Verzug". Jemand handelt "unverzüglich", wenn er nach menschlichem Ermessen und nach den Gegebenheiten nicht mehr Zeit für eine Handlung aufgebracht hat, als unbedingt erforderlich. Also ohne einen zu vermeidenden Verzug.
Dem Gesetzgeber und auch jedem Richter ist klar, dass vom Auftreten eines Handlungsgrundes bis zum Einsetzen der Handlung ein Zeitraum verstreichen muss. Alles andere wäre Science Fiction.
Die sofortige Prüfung aller Beiträge in einem Forum ist technisch garnicht und manuell nur mit völlig unangemessenem Aufwand zu erreichen.
Was im Einzelnen allerdings "angemessen" ist, entscheidet im Zweifel ein Richter, denn "angemessen" ist kein fest definierter Rechtsbegriff.